三角函式學習方法

　　三角函式公式看起來很多，如果死記硬背的話，很容易記混，死記硬背不行以下是小編要與大家分享的：，供大家參考!

　　一

　　一、概述

　　三角函式是數學中常見的一類關於角度的函式。也就是說以角度為自變數，角度對應任意兩邊的比值為因變數的函式叫三角函式，三角函式將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函式在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究週期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函式也被定義為無窮級限或特定微分方程的解，允許它們的取值擴充套件到任意實數值，甚至是複數值。

　　常見的三角函式包括正弦函式、餘弦函式和正切函式。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函式、正割函式、餘割函式、正矢函式、餘矢函式、半正矢函式、半餘矢函式等其他的三角函式。不同的三角函式之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。

　　三角函式一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函式為模版，可以定義一類相似的函式，叫做雙曲函式。常見的雙曲函式也被稱為雙曲正弦函式、雙曲餘弦函式等等。三角函式***也叫做圓函式***是角的函式;它們在研究三角形和建模週期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函式通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴充套件到任意正數和負數值，甚至是複數值。

　　二、相關定理

　　三角函式，正如其名稱那樣，在三角學中是十分重要的，主要是因為正弦定理與餘弦定理。

　　同時在解決物理中的力學問題時也很重要，主要在於力與力之間的轉換，並列出平衡方程。

　　正弦定理

　　對於邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形，有：

　　sinA / a = sinB / b = sinC/c

　　也可表示為：

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

　　其中R是三角形的外接圓半徑。

　　它可以通過把三角形分為兩個直角三角形並使用上述正弦的定義來證明。在這個定理中出現的公共數 ***sinA***/a是通過A,B和C三點的圓的直徑的倒數。正弦定理用於在一個三角形中***1***已知兩個角和一個邊求未知邊和角***2***已知兩邊及其一邊的對角求其他角和邊的問題。這是三角測量中常見情況。

　　餘弦定理

　　對於邊長為a、b、c而相應角為A、B、C的三角形，有：

　　a² = b² + c²- 2bc·cosA

　　b² = a² + c² - 2ac·cosB

　　c² = a² + b² - 2ab·cosC

　　也可表示為：

　　cosC=***a² +b² -c²***/ 2ab

　　cosB=***a² +c² -b²***/ 2ac

　　cosA=***c² +b² -a²***/ 2bc

　　這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。餘弦定理用於在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的資料。

　　如果這個角不是兩條邊的夾角，那麼三角形可能不是唯一的***邊-邊-角***。要小心餘弦定理的這種歧義情況。

　　物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到相關知識。

　　延伸定理：第一餘弦定理***任意三角形射影定理***

　　設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

　　正切定理

　　對於邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形，有：

　　***a+b***/***a-b*** = tan[***A+B***/2]/tan[***A-B***/2]

　　廣義射影定理

　　三角形中任意一邊等於其他兩邊以及對應角餘弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC

　　三角恆等式

　　對於任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證明：

　　已知***A+B***=***π-C***

　　所以tan***A+B***=tan***π-C***

　　則***tanA+tanB***/***1-tanAtanB***=***tanπ-tanC***/***1+tanπtanC***

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　類似地，我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ***n∈Z***時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。

　　三、記憶口訣

　　三角函式是函式，象限符號座標注。函式圖象單位圓，週期奇偶增減現。

　　同角關係很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割;

　　中心記上數字1，連結頂點三角形;向下三角平方和，倒數關係是對角，

　　頂點任意一函式，等於後面兩根除。誘導公式就是好，負化正後大化小，

　　變成銳角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化餘偶不變，

　　將其後者視銳角，符號原來函式判。兩角和的餘弦值，化為單角好求值，

　　餘弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互餘角度變名稱。

　　計算證明角先行，注意結構函式名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。

　　逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

　　萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用;

　　1加餘弦想餘弦，1減餘弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為範;

　　三角函式反函式，實質就是求角度，先求三角函式值，再判角取值範圍;

　　利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。

　　二

　　一、熟悉三角函式公式

　　倒數關係: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的關係： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關係： sin^2***α***+cos^2***α***=1 1+tan^2***α***=sec^2***α*** 1+cot^2***α***=csc^2***α***

　　正弦 sin2A=2sinA·cosA 餘弦 1.Cos2a=Cos^2***a***-Sin^2***a*** =2Cos^2***a***-1 =1-2Sin^2***a*** 2.Cos2a=1-2Sin^2***a*** 3.Cos2a=2Cos^2***a***-1 正切 tan2A=***2tanA***/***1-tan^2***A******

　　cos***α+β***=cosαcosβ-sinαsinβcos***α-β***=cosαcosβ+sinαsinβsin***α+β***=sinαcosβ+cosαsinβsin***α-β***=sinαcosβ -cosαsinβ

　　積化和差

　　sinαsinβ = [cos***α-β***-cos***α+β***] /2 cosαcosβ = [cos***α+β***+cos***α-β***]/2 sinαcosβ = [sin***α+β***+sin***α-β***]/2 cosαsinβ = [sin***α+β***-sin***α-β***]/2

　　誘導公式

　　sin***-α*** = -sinα cos***-α*** = cosα tan ***-α***=-tanα sin***π/2-α*** = cosα cos***π/2-α*** = sinα sin***π/2+α*** = cosα cos***π/2+α*** = -sin&alpha,高考; sin***π-α*** = sinα cos***π-α*** = -cosα sin***π+α*** = -sinα cos***π+α*** = -cosα tanA= sinA/cosA tan***π/2+α***=-cotα tan***π/2-α***=cotα tan***π-α***=-tanα tan***π+α***=tanα 誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

　　萬能公式

　　sinα=2tan***α/2***/[1+***tan***α/2******2] cosα=[1-***tan***α/2******2]/[1+***tan***α/2******2] tanα=2tan***α/2***/[1-***tan***α/2******2]

　　二、熟記三角函式恆等變形的策略。