矩陣的特徵值的意義?

General 更新 2023年10月15日

特徵值和特徵向量的幾何意義是什麼？

特徵向量的幾何意義

特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量)乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量，因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量，那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切關係，比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能是零向量)，所以一個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣A對向量x進行變換後的結果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特徵向量的話，ax也是特徵向量(a是標量且不為零)，所以所謂的特徵向量不是一個向量而是一個向量族，另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已，對一個變換而言，特徵向量指明的方向才是很重要的，特徵值不是那麼重要，雖然我們求這兩個量時先求出特徵值，但特徵向量才是更本質的東西！

比如平面上的一個變換，把一個向量關於橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫座標不變，但縱座標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那麼現在可以猜一下了，這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是鏡像對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特徵向量是 [a 0]'(a不為0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換後，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不為0)也是其特徵向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特徵向量就知道對不對了!

zz quentan blog

如何理解矩陣特徵值

定義設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式

AX=λX (1)

成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量．（1）式也可寫成，

( A-λE)X=0 (2)

這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式

| A-λE|=0 , (3)

矩陣的特徵值和特徵向量到底有什麼意義

特徵值和特徵向量，是矩陣的一個很重要的屬性，是表徵和研究線性變換不變量的重要指標。

矩陣的特徵值和特徵向量到底有什麼意義

按照矩形的方法計算，用於很多工程計算中

矩陣的特徵值和特徵向量到底有什麼意義

恭喜。我之前學這塊時也覺得奇怪，覺得這簡直是無聊之人弄出來的無用的東西。但是現在想想不是這樣的。可以這麼用：給你一矩陣和一個普通的向量，要求用該矩陣變幻n次的座標。這時你必須藉助特徵向量。你高二吧，這些內容以後會講的。

矩陣的特徵值與特徵向量有什麼作用

舉個例子，線性變換PCA可以用來處理圖像。如2維的人像識別：我們把圖像A看成矩陣，進一步看成線性變換矩陣，把這個訓練圖像的特徵矩陣求出

來(假設取了n個能量最大的特徵向量)。用A乘以這個n個特徵向量，

得到一個n維矢量a，也就是A在特徵空間的投影。今後在識別的時候同一

類的圖像(例如，

來自同一個人的面部照片)，認為是A的線性相關圖像，它乘以這個特徵向量，得到n個數字組成的一個矢量b，也就是B在特徵空間的投影。那麼a和b之間的距離就是我們判斷B是不是A的準則

為什麼矩陣的各行元素的和等於其特徵值

因為 A 乘列向量 (1,1,1.,1)^T 時相當於把A的各行加起來構成一個列向量。

什麼是矩陣的特徵值？

設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值

Ax=mx，等價於求m，使得(mE-A)x=0，其中E是單位矩陣，0為零矩陣。

|mE-A|=0，求得的m值即為A的特徵值。|mE-A| 是一個n次多項式，它的全部根就是n階方陣A的全部特徵值，這些根有可能相重複，也有可能是複數。