格林公式的幾何意義?

General 更新 2024-05-19

高數格林公式相關的幾何意義不太明白，求詳細解釋？

題上的幾何意義：對1的雙重積分就是範圍D的面積．

被積函數相當於體的高，當高為1的時候，所得結果就是積分D的面積

格林公式

設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，函數P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一階連續偏導數，則有

其中L是D的取正向的邊界曲線.

由此類比，在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域D的邊界曲線L上的曲線積分來表示，這便是我們要介紹的格林公式.

單連通區域的概念

設D為平面區域，如果D內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於D，則D稱為平面單連通區域；否則稱為復連通區域.通俗地講，單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.

區域的邊界曲線的正向規定

設L是平面區域D的邊界曲線，規定L的正向為：當觀察者沿的這個方向行走時，平面區域(也就是上面的D)內位於他附近的那一部分總在他的左邊.

簡言之：區域的邊界曲線的正向應符合條件：人沿曲線走，區域在左邊，人走的方向就是曲線的正向。

注：若區域不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域，使得每個部分區域適合上述條件，仍可證明格林公式成立.

格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯繫，因此其應用十分地廣泛.

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