矩陣的範數是什麼?

General 更新 2024-05-18

矩陣裡面的範數有什麼意義？

舉個例子在數值計算中計算矩陣的算法中常常要判斷算法的解是否收斂這時最準確的方法是判斷矩陣的最大特徵值但是矩陣的特徵值得計算相對麻煩所以可以近似的用範數代替但是不夠準確但是很高效

理論上講範數的概念屬於賦範線性空間，最重要的作用是誘導出距離，進而還可以研究收斂性。對於矩陣而言沒必要考慮範數的區別，因為有限維空間的範數都等價(Minkowski定理)，實際應用當中根據使用的難易程度來選取範數。其中理論性質最好的是2-範數，因為它可以由內積來誘導，同時和譜有著密切關聯，所以常用來進行理論分析。

矩陣裡面的範數有什麼意義？

舉個例子在數值計算中計算矩陣的算法中常常要判斷算法的解是否收斂

這時最準確的方法是判斷矩陣的最大特徵值但是矩陣的特徵值得計算相對麻煩所以可以近似的用範數代替但是不夠準確但是很高效

理論上講範數的概念屬於賦範線性空間，最重要的作用是誘導出距離，進而還可以研究收斂性。

對於矩陣而言沒必要考慮範數的區別，因為有限維空間的範數都等價(Minkowski定理)，實際應用當中根據使用的難易程度來選取範數。

範數的矩陣範數

一般來講矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣（或複方陣）全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。注：如果不考慮相容性，那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特徵，這一點和算子範數的相容性一致，並且可以得到Mincowski定理以外的信息。誘導的範數把矩陣看作線性算子，那麼可以由向量範數誘導出矩陣範數║A║ = max{║Ax║：║x║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠0} ，它自動滿足對向量範數的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，並且可以由此證明：║AB║ ≤ ║A║║B║。注：⒈上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的（有限開覆蓋定理），從而上面的連續函數可以取到最值。⒉顯然，單位矩陣的算子範數為1。常用的三種p-範數誘導出的矩陣範數是1-範數：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| } （列和範數，A每一列元素絕對值之和的最大值）（其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其餘類似）；2-範數：║A║2 = A的最大奇異值 = (max{ λi(AH*A) }) 1/2 （譜範數，即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中AH為A的轉置共軛矩陣）；∞-範數：║A║∞ = max{ ∑|a1j|，∑|a2j|,...，∑|amj| } （行和範數，A每一行元素絕對值之和的最大值）（其中∑|a1j| 為第一行元素絕對值的和，其餘類似）；其它的p-範數則沒有很簡單的表達式。對於p-範數而言，可以證明║A║p=║AH║q，其中p和q是共軛指標。簡單的情形可以直接驗證：║A║1=║AH║∞，║A║2=║AH║2，一般情形則需要利用║A║p=max{yH*A*x：║x║p=║y║q=1}。非誘導範數有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的Frobenius範數（也叫Euclid範數，簡稱F-範數或者E-範數）：║A║F= （∑∑ aij2）1/2 (A全部元素平方和的平方根）。容易驗證F-範數是相容的，但當min{m,n}>1時F-範數不能由向量範數誘導（||E11+E22||F=2>1）。可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義║x║=║X║，其中X=[x,x，…，x]是由x作為列的矩陣。由於向量的F-範數就是2-範數，所以F-範數和向量的2-範數相容。另外還有以下結論：║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F ≤ ║A║2 ║B║F矩陣譜半徑定義：A是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2，…，n。則稱特徵值的絕對值的最大值為A的譜半徑，記為ρ（A）。注意要將譜半徑與譜範數（2-範數）區別開來，譜範數是指A的最大奇異值，即AH*A最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函數，但不是矩陣範數。譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ（A）≤║A║。因為任一特徵對λ，x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。定理2：對於任何方陣A以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║A║......

如何求矩陣的一範數一範數和二範數有啥區別？

1-範數：是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。

||x||1 = sum（abs(xi)）；

2-範數（或Euclid範數）：是指空間上兩個向量矩陣的直線耿離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離（無需只沿方格邊緣）。

||x||2 = sqrt(sum(xi.^2))；

∞－範數(或最大值範數)：顧名思義，求出向量矩陣中其中模最大的向量。

||x||∞ = max(abs(xi))；

PS.由於不能敲公式，所以就以偽代碼的形式表明三種範數的算法，另外加以文字說明，希望樓主滿意。相互學習，共同進步~

矩陣的F-範數的作用？

有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的Frobenius範數(也叫Euclid範數，簡稱F-範數或者

E-範數)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2

(A全部元素平方和的平方根)。容易驗證F-範數是相容的，但當min{m,n}>1時F-範數不能由向量範數誘導

(||E11+E22||F=2>1)。可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義　║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是