以數學概念教學為基礎系統學好數學方法
General 更新 2024年06月03日
摘要：在平時的教學中應特別注意把不同的概念聯絡在一起，進行比較，並從不同側面加深對概念的理解，使它系統化，就不會造成學生對概念理解的模糊，有利於學生對知識的貯藏，有利於產生“牽一髮而動全身”之功效。因此，研究概念教學意義重大。 關鍵詞：理解概念；探究性教學；情境教學；教學過程
事實證明：只要求學生解習題，而不給學生講透數學概念、實質問題，等於只是給了學生一把對號開鎖的鑰匙，而不是教給學生解剖鎖的結構原理。不交給學生一把萬能鑰匙，學生是很難找到竅門的。因此有必要進行系統而又嚴肅的概念教學，事實上數學知識都是以概念為基礎的。要使學生獲得系統的數學知識，首先必須獲得清晰明確的數學概念。
一、理解概念的邏輯性
數學概念可分為兩個重要方面：一是概念的“質”，也就是概念的內涵（概念的本質屬性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（概念的所有物件的和）。假如把一個概念當作一個集合，那麼概念的內涵就是這個集合裡的元素的所有的共同屬性的總和，而概念的外延則是這個集合中所有元素的全體。內涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內涵就不能不涉及到概念的外延的問題。同時，概念的外延還有大小之分，外延大的叫做種概念，外延小的則叫做屬概念。當然，種概念與屬概念也並不是絕對的，有理數對實數來說是屬概念，但它對整數來說又是種概念。一個概念，可能有許多的屬概念。一個屬概念與其他的屬概念本質上的差別又稱為屬差。要想給某一概念下定義，首先應先向學生指出與被定義的概念最接近的概念是什麼，再緊接著指出被定義概念的屬差，即概念定義=種概念+屬差。如：為了定義菱形，我們教學時可以先利用“平行四邊形”這一學過的概念，其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念，它規定了菱形所屬的類別，但菱形不是一般的平行四邊形，它以“有一組鄰邊相等”這一特徵與平行四邊形的另一屬概念——矩形區別開，這樣就可以得到：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。 為了使學生能明確被定義的概念，教師就得先做到心中有數，準確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差，抓住概念的本質特徵，把握定義中的關鍵字句，弄清概念間的區別和它們的內在聯絡，把握概念的內涵，加深對概念外延的理解。
探究性學習是一種在教師引導下的體現學生主動學習的一種學習方式，它往往模擬數學家發現新的概念和命題的探究過程。簡言之，探究學習是對數學探究的模擬，有別於學生好奇心驅動下所從事的那種自發、盲目、低效或無效的探究活動。事實上，學生探究活動過程所涉及的觀察、思考、推理等活動不全是他們能獨自完成的，需要教師在關鍵時候給予必要的啟發、引導。
引導學生關注量所反映的方向，進而引導學生在比較中關注量的相對性質，最後由學生來思考概括所有相關例子中共同的東西，即他們都是相反意義的量，而非“相同意義的量”或“不同意義的量”。
在堂課裡，通過學生對相對具體事物的直接觀察、感知、分析、比較，進而抽象概括出概念，整個過程引導學生成為“相反意義的量”概念本質的“發現者”，親自參與了由表及裡的不斷深入的理解過程，從而品嚐了發現所帶來的快樂，實踐了抽取實際事物量的關係而捨棄其他一切表面現象的一種思維活動。這樣的探究教學活躍了學生的思維，數學變得親近，學生樂於接受。
三、數學概念的情境性教學
數學教學中一個好的問題情境能大大激發學生的學習興趣和探究的慾望。如在《平面直角座標系》概念的教學中，情境引入：“如今索馬利亞海盜對國際航運和海上安全構成嚴重威脅。一艘途經索馬利亞海域的輪船怎樣來確定自己的位置？”學生一般都能回答是用經度和緯度來確定它們的位置。再問：“那麼單獨用經度或緯度一個量來確定它們的位置行嗎？”“不行。”“為什麼？”學生通過思考交流相互補充舉反例的方法體驗用一對數確定一個物體位置的合理性。然後問：“同學們那麼你們現在的位置怎麼確定下來？”學生：“我在第3小組第4排。”“很好，那麼單獨用小組數或排數能否確定你的位置？”“不能。”然後讓第3小組的學生站起來，第4排的學生也站一下，通過實際情境進一步體驗用一對數來確定平面上一點位置的正確性。然後再問：“把教室的右牆角的兩條牆角線分別看作是0排0組，請同學們分別說出自己的位置。”用（x，y）表示，x表示組數，y表示排數，在這過程中學生鞏固了用一對有序實數來確定平面上一點的方法。然後要同學們考慮這時隔壁班的同學的位置該怎樣確定，通過學生自己的交流、討論得到了“平面直角座標系”的基本框架。 整堂課的教學基本上在具體的情境中進行。學生情緒高漲、思維活躍，積極參與。在不知不覺中掌握了“平面直角座標系”的概念。可見好的情境對概念教學有著不可忽視的作用。
在數學概念教學中，用得比較多的還有正例和反例教學，特別是在數學概念理解的深化階段，反例發揮著重要作用。因此，既可以利用概念之間的區別和聯絡進行概念教學，也可以利用數學概念之間的邏輯聯絡，多方面聯絡實際，靈活運用概念進行概念教學。
四、注重概念的形成過程
許多數學概念都是從現實生活中抽象出來的。講清它們的來源，既會讓學生感到不抽象，而且有利於形成生動活潑的學習氛圍。一般說來，概念的形成過程包括：引入概念的必要性，對一些感性材料的認識、分析、抽象和概括，注重概念形成過程，符合學生的認識規律。在教學過程中，如果忽視概念的形成過程，把形成概念的生動過程變為簡單的“條文加例題”，就不利於學生對概念的理解。因此，注重概念的形成過程，可以完整地、本質地、內在地揭示概念的本質屬性，使學生對理解概念具備思想基礎，同時也能培養學生從具體到抽象的思維方法。例如，負數概念的建立，展現知識的形成過程如下：①讓學生總結小學學過的數，表示物體的個數用自然數1，2，3…表示；一個物體也沒有，就用自然數0表示：測量和計算有時不能得到整數的結果，這就用分數。②觀察兩個溫度計，零上3度。記作+3°，零下3度，記作-3°，這裡出現了一種新的數——負數。③讓學生說出所給問題的意義，讓學生觀察所給問題有何特徵。④引導學生抽象概括正、負數的概念。
針對概念形成的階段性、發展性和連貫性，我們教師教學中應當注意：在學生對某些預備概念模糊不清的情況下，千萬不要急於引入新概念，最好先複習涉及新概念的相關預備概念，尤其是對特別重要的、關鍵性的預備概念，教師要反覆強調，以求得學生較為徹底的理解，方可為新概念的匯入作出良好的鋪墊。
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事實證明：只要求學生解習題，而不給學生講透數學概念、實質問題，等於只是給了學生一把對號開鎖的鑰匙，而不是教給學生解剖鎖的結構原理。不交給學生一把萬能鑰匙，學生是很難找到竅門的。因此有必要進行系統而又嚴肅的概念教學，事實上數學知識都是以概念為基礎的。要使學生獲得系統的數學知識，首先必須獲得清晰明確的數學概念。
一、理解概念的邏輯性
數學概念可分為兩個重要方面：一是概念的“質”，也就是概念的內涵（概念的本質屬性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（概念的所有物件的和）。假如把一個概念當作一個集合，那麼概念的內涵就是這個集合裡的元素的所有的共同屬性的總和，而概念的外延則是這個集合中所有元素的全體。內涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內涵就不能不涉及到概念的外延的問題。同時，概念的外延還有大小之分，外延大的叫做種概念，外延小的則叫做屬概念。當然，種概念與屬概念也並不是絕對的，有理數對實數來說是屬概念，但它對整數來說又是種概念。一個概念，可能有許多的屬概念。一個屬概念與其他的屬概念本質上的差別又稱為屬差。要想給某一概念下定義，首先應先向學生指出與被定義的概念最接近的概念是什麼，再緊接著指出被定義概念的屬差，即概念定義=種概念+屬差。如：為了定義菱形，我們教學時可以先利用“平行四邊形”這一學過的概念，其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念，它規定了菱形所屬的類別，但菱形不是一般的平行四邊形，它以“有一組鄰邊相等”這一特徵與平行四邊形的另一屬概念——矩形區別開，這樣就可以得到：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。 為了使學生能明確被定義的概念，教師就得先做到心中有數，準確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差，抓住概念的本質特徵，把握定義中的關鍵字句，弄清概念間的區別和它們的內在聯絡，把握概念的內涵，加深對概念外延的理解。
探究性學習是一種在教師引導下的體現學生主動學習的一種學習方式，它往往模擬數學家發現新的概念和命題的探究過程。簡言之，探究學習是對數學探究的模擬，有別於學生好奇心驅動下所從事的那種自發、盲目、低效或無效的探究活動。事實上，學生探究活動過程所涉及的觀察、思考、推理等活動不全是他們能獨自完成的，需要教師在關鍵時候給予必要的啟發、引導。
引導學生關注量所反映的方向，進而引導學生在比較中關注量的相對性質，最後由學生來思考概括所有相關例子中共同的東西，即他們都是相反意義的量，而非“相同意義的量”或“不同意義的量”。
在堂課裡，通過學生對相對具體事物的直接觀察、感知、分析、比較，進而抽象概括出概念，整個過程引導學生成為“相反意義的量”概念本質的“發現者”，親自參與了由表及裡的不斷深入的理解過程，從而品嚐了發現所帶來的快樂，實踐了抽取實際事物量的關係而捨棄其他一切表面現象的一種思維活動。這樣的探究教學活躍了學生的思維，數學變得親近，學生樂於接受。
三、數學概念的情境性教學
數學教學中一個好的問題情境能大大激發學生的學習興趣和探究的慾望。如在《平面直角座標系》概念的教學中，情境引入：“如今索馬利亞海盜對國際航運和海上安全構成嚴重威脅。一艘途經索馬利亞海域的輪船怎樣來確定自己的位置？”學生一般都能回答是用經度和緯度來確定它們的位置。再問：“那麼單獨用經度或緯度一個量來確定它們的位置行嗎？”“不行。”“為什麼？”學生通過思考交流相互補充舉反例的方法體驗用一對數確定一個物體位置的合理性。然後問：“同學們那麼你們現在的位置怎麼確定下來？”學生：“我在第3小組第4排。”“很好，那麼單獨用小組數或排數能否確定你的位置？”“不能。”然後讓第3小組的學生站起來，第4排的學生也站一下，通過實際情境進一步體驗用一對數來確定平面上一點位置的正確性。然後再問：“把教室的右牆角的兩條牆角線分別看作是0排0組，請同學們分別說出自己的位置。”用（x，y）表示，x表示組數，y表示排數，在這過程中學生鞏固了用一對有序實數來確定平面上一點的方法。然後要同學們考慮這時隔壁班的同學的位置該怎樣確定，通過學生自己的交流、討論得到了“平面直角座標系”的基本框架。 整堂課的教學基本上在具體的情境中進行。學生情緒高漲、思維活躍，積極參與。在不知不覺中掌握了“平面直角座標系”的概念。可見好的情境對概念教學有著不可忽視的作用。
在數學概念教學中，用得比較多的還有正例和反例教學，特別是在數學概念理解的深化階段，反例發揮著重要作用。因此，既可以利用概念之間的區別和聯絡進行概念教學，也可以利用數學概念之間的邏輯聯絡，多方面聯絡實際，靈活運用概念進行概念教學。
四、注重概念的形成過程
許多數學概念都是從現實生活中抽象出來的。講清它們的來源，既會讓學生感到不抽象，而且有利於形成生動活潑的學習氛圍。一般說來，概念的形成過程包括：引入概念的必要性，對一些感性材料的認識、分析、抽象和概括，注重概念形成過程，符合學生的認識規律。在教學過程中，如果忽視概念的形成過程，把形成概念的生動過程變為簡單的“條文加例題”，就不利於學生對概念的理解。因此，注重概念的形成過程，可以完整地、本質地、內在地揭示概念的本質屬性，使學生對理解概念具備思想基礎，同時也能培養學生從具體到抽象的思維方法。例如，負數概念的建立，展現知識的形成過程如下：①讓學生總結小學學過的數，表示物體的個數用自然數1，2，3…表示；一個物體也沒有，就用自然數0表示：測量和計算有時不能得到整數的結果，這就用分數。②觀察兩個溫度計，零上3度。記作+3°，零下3度，記作-3°，這裡出現了一種新的數——負數。③讓學生說出所給問題的意義，讓學生觀察所給問題有何特徵。④引導學生抽象概括正、負數的概念。
針對概念形成的階段性、發展性和連貫性，我們教師教學中應當注意：在學生對某些預備概念模糊不清的情況下，千萬不要急於引入新概念，最好先複習涉及新概念的相關預備概念，尤其是對特別重要的、關鍵性的預備概念，教師要反覆強調，以求得學生較為徹底的理解，方可為新概念的匯入作出良好的鋪墊。
淺談初中化學課堂提問的有效性