三角形內心的定義?

General 更新 2024-05-18

什麼叫三角形內心定義

在三角形中，三個內角的三條角平分線的相交於一點，這個點是這個三角形內切圓的圓心，也叫做三角形的內心。三角形內心到三角形三條邊的距離相等。

三角形的重心，垂心，外心，內心的定義及性質分別是什麼

一、三角形的外心

定義：

三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心) 。

性質：

1.三角形三條邊的垂直平分線的交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心.

2三角形的外接圓有且只有一個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。

3.銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

6.S△ABC=abc/4R

二、三角形的內心

定義：

三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點(或內切圓的圓心)。

性質：

1.三角形的三條角平分線交於一點，該點即為三角形的內心

2.三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r

3.r=2S/(a+b+c)

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內切圓半徑)

三、三角形的垂心

定義：

三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(通常用H表示)。

性質：

1.銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外

2.三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心

3. 垂心O關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓圓上。

4.△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

5. H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓。

7.在非直角三角形中，過O的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。

9.設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10.銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11.銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發現）

12.西姆鬆(Simson)定理（西姆鬆線）：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上

13.設銳角△ABC內有一點P，那麼P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

14.設H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。

15.三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行於原三角形外接圓在各頂點的切線。

四、三角形的重心

定義：

三角形的重心是三角形三條中線的交點。

性質：

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。